徐嘉餘1995年8月19日出生於浙江省溫州市鹿城區，小時候受到曾是遊泳運動員的媽媽影響開始接觸遊泳。
2002年，7歲的徐嘉餘被挑選進入溫州市少體校，師從教練林夢華，主攻男子蝶泳項目。
2008年，徐嘉餘入選浙江隊，拜師徐國義後，經省隊教練組挖掘改練仰泳。
2013年，徐嘉餘被列入優秀運動員免試入學推薦名單，成為上海交通大學的學生。
2011年，徐嘉餘被授予遊泳項目運動健將稱號；同年10月，他在第七屆全國城市運動會上獲男子100米仰泳的銅牌，第一次登上中國全國性賽事的領獎台。
2012年4月，徐嘉餘以1分58秒27的成績奪得全國遊泳冠軍賽暨奧運選拔賽男子200米仰泳亞軍，達到奧運會A標；8月參加倫敦奧運會男子200米仰泳項目；9月在全國遊泳錦標賽暨全運會選拔賽上獲男子100米仰泳項目銅牌、男子50米仰泳項目銀牌、男子200米仰泳項目銀牌；11月在亞洲遊泳錦標賽以54秒24的成績獲男子100米仰泳冠軍並改寫亞錦賽記錄；在男子50米仰泳比賽中摘得一枚銅牌。同年在土耳其世界短池比賽中獲得男子200仰第九名。
2013年4月，徐嘉餘在全國遊泳冠軍賽暨全運會預選賽男子200米仰泳決賽中以1分57秒83的成績奪得冠軍，獲得4㗱00混合泳冠軍，男子100仰季軍，男子50仰季軍。7至8月，參加世錦賽，遊出個人最好成績1分56秒42並首次闖進決賽，以第7名的成績完賽。9月，在第十二屆全運會男子100米仰泳決賽中以53秒43奪冠；之後以1分56秒67獲得男子200米仰泳決賽冠軍。同年10月，參加第六屆東亞運動會，在男子200米仰泳項目中以1分57秒45的成績獲冠軍，以53秒90獲男子100米仰泳項目冠軍。
2014年2月，徐嘉餘在澳大利亞舉行的五國遊泳對抗賽100米仰泳決賽中戰勝入江陵介，以53秒42的成績獲得冠軍；5月12日在全國遊泳冠軍賽男子100米仰泳決賽中以52秒34的成績打破全國紀錄並奪冠，這一成績在當年超過了日本的入江陵介，該時刻可以排在世界第一；5月13日，在男子50米仰泳決賽中憑借24秒58的成績獲得冠軍，刷新了該項目全國紀錄，並是2015年此項目世界第三好成績；5月16日，徐嘉餘在男子200米仰泳決賽中以1分55秒11的奪冠成績打破了中國全國紀錄。同年，他參加了第十七屆仁川亞運會，9月21日以52秒81的成績獲男子100米仰泳亞軍，9月22日以25秒24獲得男子50米仰泳季軍，9月26日在男子4㗱00米混合泳接力決賽中，與李響、李朱濠、寧澤濤代表中國隊出賽，以3分31秒37的成績打破賽會紀錄，奪得金牌。2014年的全國遊泳錦標賽上，10月15日，徐嘉餘參加男子200米仰泳項目以1分56秒66的成績獲得冠軍；10月16日，在男子50米仰泳決賽中以25秒17的成績奪得冠軍；10月17日，在男子100米仰泳決賽中以53秒50的成績奪得冠軍。10月24日，他在國際泳聯短池遊泳世界杯係列賽（北京站）中奪得男子100米仰泳比賽冠軍。
2015年4月，徐嘉餘參加全國遊泳冠軍賽暨世錦賽選拔賽，以53秒47的成績獲得男子100米仰泳項目冠軍；在男子200米仰泳決賽中以1分56秒26的成績奪冠；在男子50米仰泳決賽中以25秒15的成績獲得冠軍。2015年8月，徐嘉餘在俄羅斯喀山遊泳世錦賽的男子100米仰泳項目中遊出52秒89，最終排名第四位；在男子200米仰泳決賽中，他則以1分55秒20獲得第六；還獲得了男女4㗱00米混合泳接力項目第四名。2015年9月，參加全國遊泳錦標賽，獲得男子50米仰泳、男子200米仰泳和男子100米仰泳三枚金牌；同月參加遊泳世界杯北京站，獲男子50米仰泳冠軍。
2016年4月，在廣東佛山進行的全國遊泳冠軍賽暨裏約奧運選拔賽男子100米仰泳決賽上，徐嘉餘以53秒38的成績奪冠；男子200米仰泳，徐嘉餘遊出1分54秒79的成績打破由自己保持的全國紀錄，拿下個人第二枚金牌。同年8月，徐嘉餘代表中國參加裏約奧運會，在男子100米仰泳決賽中以52秒31獲得銀牌。同年11月17日，在2016年亞洲遊泳錦標賽男子4乘100混決賽中，徐嘉餘作為中國隊的第一棒遊出了52秒75， 打破了100米仰泳賽會紀錄，和李響、李朱濠、餘賀新以3分33秒43獲得冠軍；11月18日，以1分55秒19獲得男子200米仰泳冠軍，打破張豐林保持的1分56秒38的賽會紀錄；11月19日，徐嘉餘以24秒65的成績獲得男子50米仰泳冠軍；11月20日，以53秒02獲得男子100米仰泳決賽冠軍。
2017年4月12日，在2017年全國遊泳冠軍賽暨第十三屆全運會預賽上，徐嘉餘以51秒86獲得男子100米仰泳冠軍，同時打破了該項目亞洲紀錄；4月15日，在男子200米仰泳項目中以1分54秒03打破自己保持的全國紀錄並獲得冠軍；4月16日，在男子50米仰泳半決賽中，以24秒42刷新了自己在2014年創造的全國紀錄，成為該屆比賽唯一打破三個項目紀錄（50仰全國紀錄，100仰亞洲紀錄，200仰全國紀錄）的選手，該成績位列2017年度世界第一。
2017年7月26日，在布達佩斯進行的2017年世界遊泳錦標賽，徐嘉餘以52秒44獲得男子100米仰泳冠軍，這是中國選手首次在男子仰泳項目上獲得世界大賽（奧運會和世界錦標賽）冠軍。7月27日，布達佩斯遊泳世錦賽男女混合4㗱00米接力，中國隊（徐嘉餘、閆子貝、張雨霏和朱夢惠）以3分41秒25與加拿大並列季軍。7月28日，布達佩斯遊泳世錦賽男子200米仰泳決賽，徐嘉餘以1分55秒26獲得第五。7月31日，布達佩斯遊泳世錦賽男子50米仰泳決賽，徐嘉餘以24秒74排名第五。7月31日，布達佩斯遊泳世錦賽男子4X100米混合泳接力決賽，由徐嘉餘、閆子貝、李朱濠和餘賀新組成的中國隊以3分31秒65獲得第六。
2017年9月2日，在天津奧林匹克中心遊泳跳水館進行的遊泳比賽結束了第十三屆全運會男女100米仰泳決賽爭奪，徐嘉餘以52秒60獲得男子100米仰泳冠軍。9月3日，在天津奧林匹克中心遊泳跳水館進行的全運會遊泳比賽結束了男子4X200米自由泳決賽爭奪，徐嘉餘、汪順、李朱濠和孫楊組成的浙江隊以7分12秒64獲得冠軍。9月5日，在天津奧林匹克中心遊泳跳水館進行的全運會遊泳比賽中，浙江選手徐嘉餘以1分55秒42獲得男子200米仰泳冠軍，拿到本屆全運會的第三金。9月7日，在天津奧林匹克中心遊泳跳水館進行的全運會遊泳比賽中，徐嘉餘/閆子貝/李朱濠/孫楊組成的浙鄂隊以3分33秒12獲得男子4X100米混合泳接力決賽冠軍。10月21日，2017年全國遊泳錦標賽男子50米蝶泳，徐嘉餘獲得亞軍。11月14日，國際泳聯短池世界杯東京站男子200米仰泳，徐嘉餘以1分50秒96的成績奪得季軍。男女4X50米混合泳接力，徐嘉餘、史婧琳、李朱濠、朱夢惠組成的中國隊以1分40秒94獲得第四，遺憾錯失獎牌；11月15日，2017年國際泳聯短池世界杯東京站，徐嘉餘以49秒82獲得男子100米仰泳冠軍，打破自己保持的全國紀錄。11月18日，短池遊泳世界杯新加坡站男子100米仰泳，徐嘉餘決賽遊出50秒05獲得亞軍。男女4X50米混合泳接力，由徐嘉餘、於靜瑤、李朱濠與朱夢惠出戰的中國隊，遊出1分40秒06的成績排名第四。11月18日，2017年國際泳聯短池世界杯新加坡站的比賽，男子100米仰泳，徐嘉餘落後於偶像入江陵介，奪得亞軍。11月19日，國際泳聯短池世界杯新加坡站男子50米仰泳，徐嘉餘以23秒18奪得季軍。
2018年4月13日，在山西太原進行的2018年全國遊泳冠軍賽，男子100米仰泳決賽，徐嘉餘以52秒72獲得冠軍。4月14日，2018年全國遊泳錦標賽，徐嘉餘以24秒75獲得男子50米仰泳冠軍；4月17日，2018年全國遊泳冠軍賽暨亞運會選拔賽，徐嘉餘以1分55秒43獲得男子200米仰泳冠軍。
徐嘉餘的母親曾是溫州市遊泳隊的運動員，主攻蛙泳項目，由於家人的反對沒能延續下去，媽媽從徐嘉餘小時候就帶著他去遊泳，不僅培養出兒子對遊泳的興趣，在每次徐嘉餘參加比賽時也都會用自己的方式給予他鼓勵。徐嘉餘表示自己心中最大的偶像是蝶泳選手吳鵬；他喜歡黃色的泳帽，私底下練遊泳的老師和同伴喜歡叫他“甲魚”；徐嘉餘曾經把仰泳選手入江陵介當成趕超的目標。徐嘉餘一直非常感謝他的教練徐國義，因為兩人都姓徐，有不少人誤將他們當成是親戚。徐嘉餘訓練之餘會購物減壓，一天收六七個包裹。
| 賽事 | 項目 | 成績 |
|---|---|---|
| 2012年全國遊泳冠軍賽暨奧運選拔賽 | 男子200米仰泳決賽（04/02） | 1分58秒27（亞軍） |
| 2012年倫敦奧運會 | 男子200米仰泳預賽（08/01） | 2分00秒26 |
| 2012全國遊泳錦標賽暨全運會選拔賽 | 男子100米仰泳決賽（09/22） | （銅牌） |
| 男子50米仰泳決賽（09/24） | （銀牌） | |
| 男子200米仰泳（09/26） | 1分59秒26（亞軍） | |
| 2012年迪拜亞洲遊泳錦標賽 | 男子100米仰泳（11月） | 54秒24（冠軍） |
| 2013年全國遊泳冠軍賽暨全運會預選賽 | 男子200米仰泳決賽（04/06） | 1分57秒83（冠軍） |
| 男子50米仰泳預賽（04/07） | （第一名） | |
| 男子4X100米混合泳接力決賽（04/08） | 浙江隊3分36秒12（冠軍） | |
| 2013年第15屆巴塞羅那世界遊泳錦標賽 | 男子100米仰泳預賽（07/29） | 53秒63（第三名） |
| 男子200米仰泳預賽（08/01） | 1分58秒29（第12位） | |
| 男子200米仰泳半決賽（08/02） | 1分56秒42（第六） | |
| 男子200米仰泳決賽（08/03） | 1分57秒13（第七名） | |
| 2013年第十二屆遼寧全運會 | 男子100米仰泳預賽（09/05） | 55秒19 |
| 男子100米仰泳半決賽（09/05） | 53秒85 | |
| 男子100米仰泳決賽（09/06） | 53秒43（冠軍） | |
| 男子200米仰泳預賽 | 2分01秒41（第二） | |
| 男子200米仰泳半決賽 | 1分59秒17（第二） | |
| 男子200米仰泳決賽（09/09） | 1分56秒67（冠軍） | |
| 2013第六屆東亞運動會 | 男子200米仰泳決賽（10/11） | 1分57秒45（冠軍） |
| 男子100米仰泳決賽（10/13） | 53秒90（冠軍） | |
| 男子4X100米混合泳（10/13） | 中國隊（亞軍） | |
| 2013年全國遊泳錦標賽 | 男子200米仰泳決賽（10/26） | 1分57秒78（冠軍） |
| 男子4㗱00米混合泳接力（10/29） | 浙江隊3分38秒79（冠軍） | |
| 2014澳大利亞五國遊泳對抗賽 | 男子100米仰泳決賽（02/01） | 53秒42（冠軍） |
| 2014年全國遊泳冠軍賽 | 男子100米仰泳決賽（05/12） | 52秒34（冠軍，全國紀錄） |
| 男子50米仰泳預賽（05/13） | 25秒57（第一） | |
| 男子50米仰泳決賽（05/13） | 24秒58（冠軍，破原全國紀錄） | |
| 男子200米仰泳決賽（05/16） | 1分55秒11（冠軍，全國紀錄） | |
| 2014年第十七屆仁川亞運會 | 男子100米仰泳預賽（09/21） | 54秒60（小組第1總排名第2） |
| 男子100米仰泳決賽（09/21） | 52秒81（亞軍） | |
| 男子50米仰泳預賽（09/22） | 25秒04（小組第一） | |
| 男子50米仰泳決賽（09/22） | 25秒24（季軍） | |
| 男子200米仰泳預賽（09/25） | 1分58秒50 | |
| 男子200米仰泳決賽（09/25） | 1分55秒05（亞軍） | |
| 2014全國遊泳錦標賽 | 男子200米仰泳決賽（10/15） | 1分56秒66（冠軍） |
| 男子50米仰泳決賽（10/16） | 25秒17（冠軍） | |
| 男子100米仰泳決賽（10/17） | 53秒50（冠軍） | |
| 男子4㗱00米混合泳接力（10/18） | 浙江隊3分38秒09（冠軍） | |
| 2014年短池遊泳世界杯北京站 | 男子100米仰泳比賽（10/24） | （冠軍） |
| 2015年全國遊泳冠軍賽暨世錦賽選拔賽 | 男子400米自由泳預賽（04/09） | 3分53秒26（第三名） |
| 男子400米自由泳決賽（04/09） | （第五） | |
| 男子100米仰泳決賽（04/11） | 53秒47（冠軍） | |
| 男子200米仰泳決賽（04/14） | 1分56秒26（冠軍） | |
| 男子50米仰泳決賽（04/16） | 25秒15（冠軍） | |
| 2015喀山遊泳世錦賽 | 男子100米仰泳預賽（08/03） | 53秒29（第三） |
| 男子100米仰泳決賽（08/04） | 52秒89（第四） | |
| 2015年全國遊泳錦標賽 | 男子200米仰泳（09/07） | 1分58秒88（冠軍） |
| 男子50米仰泳（09/08） | 25秒35（冠軍） | |
| 男子100米仰泳預賽 | 54秒54（第一名） | |
| 男子100米仰泳決賽（09/09） | 53秒77（冠軍） | |
| 男子4x100米混合泳接力（09/10） | （冠軍） | |
| 男子200米自由泳 | （亞軍） | |
| 2015國際泳聯遊泳世界杯係列賽（北京站） | 男子50米仰泳決賽（09/30） | 24秒65（冠軍） |
| 中日澳三國遊泳對抗賽 | 男子100米仰泳 | 53秒39（亞軍） |
| 體育賽事（遊泳） |
| ?2017-07 世界遊泳錦標賽 男子100米仰泳（冠軍） （獲獎） ?2017-07 世界遊泳錦標賽 男女混合4×100米接力（季軍） （獲獎） ?2017-04 全國遊泳冠軍賽 男子100米仰泳（冠軍） 打破亞洲紀錄 （獲獎） ?2015-04 全國遊泳冠軍賽暨世錦賽選拔賽 男子100米仰泳（冠軍） （獲獎） ?2015-04 全國遊泳冠軍賽暨世錦賽選拔賽 男子200米仰泳（冠軍） （獲獎） ?2015-04 全國遊泳冠軍賽暨世錦賽選拔賽 男子50米仰泳（冠軍） （獲獎） ?2014-10 全國遊泳錦標賽 男子200米仰泳（冠軍） （獲獎） ?2014-10 全國遊泳錦標賽 男子50米仰泳（冠軍） （獲獎） ?2014-10 全國遊泳錦標賽 男子100米仰泳（冠軍） （獲獎） ?2014-10 短池遊泳世界杯（北京站） 男子100米仰泳（冠軍） （獲獎） ?2014-09 第十七屆仁川亞運會 男子100米仰泳（亞軍） （獲獎） ?2014-09 第十七屆仁川亞運會 男子50米仰泳（季軍） （獲獎） ?2014-05 全國遊泳冠軍賽 男子100米仰泳（冠軍） 打破全國紀錄 （獲獎） ?2014-05 全國遊泳冠軍賽 男子50米仰泳（冠軍） 刷新該項目全國紀錄 （獲獎） ?2014-05 全國遊泳冠軍賽 男子200米仰泳（冠軍） 打破全國紀錄 （獲獎） ?2014-02 五國遊泳對抗賽 男子100米仰泳（冠軍） （獲獎） ?2013-10 第六屆東亞運動會 男子200米仰泳（冠軍） （獲獎） ?2013-10 第六屆東亞運動會 男子100米仰泳（冠軍） （獲獎） ?2013-09 全國運動會 男子100米仰泳（冠軍） （獲獎） ?2013-09 全國運動會 男子200米仰泳（冠軍） （獲獎） ?2013-04 全國遊泳冠軍賽暨全運會預選賽 男子200米仰泳（冠軍） （獲獎） ?2012-11 亞洲遊泳錦標賽 男子100米仰泳（冠軍） （獲獎） ?2012-11 亞洲遊泳錦標賽 男子50米仰泳（季軍） （獲獎） ?2012-09 全國遊泳錦標賽暨全運會選拔賽 男子100米仰泳（季軍） （獲獎） ?2012-09 全國遊泳錦標賽暨全運會選拔賽 男子50米仰泳（亞軍） （獲獎） ?2012-09 全國遊泳錦標賽暨全運會選拔賽 男子200米仰泳（亞軍） （獲獎） ?2012-04 全國遊泳冠軍賽暨奧運選拔賽 男子200米仰泳（亞軍） （獲獎） ?2011-10 全國城市運動會 男子100米仰泳（季軍） （獲獎） |
| 中國十佳勞倫斯冠軍獎 |
| ?2017 2017中國十佳勞倫斯冠軍獎最佳突破獎 （提名） |
| CCTV體壇風雲人物 |
| ?2017 2017CCTV體壇風雲人物年度最佳男運獎動員獎 （提名） ?2017 2017CCTV體壇風雲人物年度突破運獎動員獎 （提名） |
徐嘉餘雖然隻有17歲，已經參加了倫敦奧運會；（都市快報評）2013年徐嘉餘成績提高得非常快，假以時日他會和孫楊一樣成為浙江的領軍人物（韓喬生）；徐嘉餘雖是18歲小將，卻在2014全國遊泳冠軍賽上連打破男子50米、100米、200米仰泳三項全國紀錄，達世界頂級水平，填補了中國男泳空白，已可稱他是中國遊泳界不折不扣的仰泳之王。（錢江晚報、中國青年報評）
遊仰泳的徐嘉餘在男運動員裏讓人覺得很不錯，印象很深（焦劉洋的主管教練劉海濤）；小夥子的表現在2013年全運會甚至世錦賽上值得期待（都市快報評）；徐嘉餘遊得非常好，最終完成反超並獲得了這塊並非浙江隊計劃之中的金牌（羅雪娟）；
徐嘉餘最大的特點是肯練，而且很聰明，他是一個把遊泳訓練當樂趣的孩子，完全沉迷於遊泳運動當中，這一點非常難得，隨著他年紀漸漸大起來，力量上來了，成績自然也就漲上來了，還有很大的成長空間（教練徐國義）；在100米仰泳中，徐嘉餘2013年全運會、2014年全國冠軍賽的比賽成績和技術與2011年世界遊泳錦標賽男子100米仰泳項目前三名運動員的進行對比，分析得出徐嘉餘劃水效果好、轉身和到邊技術有所提高，但劃頻較慢，且途中遊的速度穩定性上起伏較大。（上海體育學院、國家體育總局體育科學研究所、浙江體育職業技術學院）
徐嘉餘英俊、帥氣，但態度非常謙虛、平和、內斂，甚至還很羞澀靦腆。（中國青年報評）
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